Plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta

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¿cómo hallo un plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta?

Para hallar un plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta necesito conocer las coordenadas del punto y el vector director de la recta que será el vector normal al plano. Con el punto y el vector director de la recta ya puedo escribir todas las ecuaciones del plano que me piden.

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exámenes de pau de matemáticas ii

Problema 8 - Análisis de Planos

EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

Problema 8

Dado el punto P≡(2,−1,3), halla las ecuaciones de los siguientes planos que contienen a P.

(i) Paralelo a π:4x+3y−2z+4=0.

(ii) Perpendicular a la recta r≡x−33=y2=z+2−4.

Solución

Parte (ii): Hallar el plano perpendicular a la recta r≡x−33=y2=z+2−4, que contiene a P(2,−1,3).

Pasos:

  1. La ecuación continua de la recta r indica que su vector director es: v=(3,2,−4).

  2. Si un plano es perpendicular a la recta r, entonces el vector director v es paralelo al vector normal del plano. Por ello, podemos tomar como vector normal del plano a n=(3,2,−4).

  3. La ecuación del plano será de la forma: 3x+2y−4z+d=0, donde d es una constante a determinar.

  4. Como el plano contiene al punto P(2,−1,3), sustituimos sus coordenadas en la ecuación: 3(2)+2(−1)−4(3)+d=0.

  5. Calculamos: 6−2−12+d=0⟹−8+d=0, lo que implica d=8.

  6. La ecuación del plano es: 3x+2y−4z+8=0.