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REGLA DE L'HÔPITAL

Conocimientos previos

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Regla de L'Hôpital: Enlace al vídeo

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¿Qué dice la regla de l'Hôpital? ¿cómo uso la regla de l'hôpital?

La regla de L'Hôpital, es una técnica matemática que se utiliza para evaluar límites indeterminados de la forma o .

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

exámenes de pau de matemáticas ii

Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 2: Enlace al vídeo

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Considera la función continua definida por:

f(x)=(xcos(x)-asen(x))/x^3, si x<0; f(x) = bcos(x)-1, si x≥0

Calcula a y b.

Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen suplente) Ejercicio 2 Apartado b: Enlace al vídeo

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Considera la función definida por , donde f(x) = arctg(x+π) donde arctg denota la función arcotangente.

a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de f. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Calcula lim(x→-π)⁡〖arctg(x+π)/sen(x)].

PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II

PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024

Ejercicio B2.

Calcule:

(a) (1.25 puntos) $\int_{1}^{e} (x + 2) \ln x d x .$
(b) (1.25 puntos) $lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\tan \frac{x}{2})}^{\frac{1}{\cos x}} .$

Solución

B2 (b):

Se desea calcular el límite $L = lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\tan \frac{x}{2})}^{\frac{1}{\cos x}} .$ Al sustituir $x = \frac{π}{2}$ observamos que:
$\tan \frac{x}{2} \to \tan \frac{π}{4} = 1$ y $\cos x \to \cos \frac{π}{2} = 0$ , lo que genera la forma indeterminada $1^{\infty}$ .

Para resolver esta indeterminación, tomamos el logaritmo natural: $\ln L = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\ln (\tan \frac{x}{2})}{\cos x} .$ Al evaluar directamente, tanto el numerador como el denominador tienden a 0; se tiene la forma $0 / 0$ y podemos aplicar la regla de L'Hôpital.

Aplicando L'Hôpital: Derivamos el numerador y el denominador con respecto a $x$ .

Derivada del numerador:
Sea $f (x) = \ln (\tan \frac{x}{2})$ . Entonces, $f^{'} (x) = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (\tan \frac{x}{2}) .$ Recordamos que $\frac{d}{d x} \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} .$ Por lo tanto, $f^{'} (x) = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sec^{2} \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}} .$

Derivada del denominador:
Sea $g (x) = \cos x$ , de donde $g^{'} (x) = - \sin x .$

Aplicando L'Hôpital, tenemos: $\ln L = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sec^{2} \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}}}{- \sin x} = - \frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2} \sin x} .$

Evaluamos el límite al sustituir $x = \frac{π}{2}$ :

$\frac{x}{2} \to \frac{π}{4}$ , por lo que $\sec^{2} \frac{π}{4} = {(\frac{1}{\cos \frac{π}{4}})}^{2} = {(\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})}^{2} = 2.$
$\tan \frac{π}{4} = 1.$
$\sin \frac{π}{2} = 1.$

Por lo tanto, $\ln L = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 \cdot 1} = - 1.$

Finalmente, al aplicar la exponencial: $L = e^{- 1} .$

Conclusión: El límite es $lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\tan \frac{x}{2})}^{\frac{1}{\cos x}} = e^{- 1} .$

Problema 3 - EBAU Región de Murcia Junio 2024

EBAU Región de Murcia Junio 2024

Problema 3

Calcule los siguientes límites:

a) $lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - \cos (2 x)}{x^{2}}$
b) $lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x + 9} - \sqrt{x - 9})$
c) $lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Solución

Apartado a: Cálculo de $lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

Al sustituir $x = 0$ se obtiene la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ , por lo que se aplica L'Hôpital.

Derivamos el numerador y el denominador:

Numerador: $\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - \cos (2 x)] = - 3 \sin (3 x) + 2 \sin (2 x)$ .

Denominador: $\frac{d}{d x} [x^{2}] = 2 x$ .

Así, el límite se transforma en:

lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + 2 \sin (2 x)}{2 x} .

Al evaluar en $x = 0$ se sigue obteniendo $\frac{0}{0}$ ; se aplica L'Hôpital una segunda vez:

Derivamos nuevamente:

Numerador: $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (3 x) + 2 \sin (2 x)] = - 9 \cos (3 x) + 4 \cos (2 x)$ .

Denominador: $\frac{d}{d x} [2 x] = 2$ .

Entonces:

lim_{x \to 0} \frac{- 9 \cos (3 x) + 4 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 9 \cos (0) + 4 \cos (0)}{2} = \frac{- 9 + 4}{2} = - \frac{5}{2} .

Por lo tanto, $lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - \cos (2 x)}{x^{2}} = - \frac{5}{2}$ .

Apartado c: Cálculo de $lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Al sustituir $x \to + \infty$ se obtiene la forma indeterminada $\frac{\infty}{\infty}$ . Se aplica L'Hôpital:

Derivada del numerador: $\frac{d}{d x} (\ln x) = \frac{1}{x}$ .

Derivada del denominador: $\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

El límite se transforma en:

lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2 \sqrt{x}}} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0.

Solución Problema 4 - Análisis

ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024

PREGUNTA 4

Calcule los siguientes límites:

a) $lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln (1 + x)}{x \sin x}$

b) $lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - e^{x}}{x^{2}}$

Solución apartado a:

Límite: $lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln (1 + x)}{x \sin x}$

Paso 1: Evaluar la indeterminación

Sustituyendo $x = 0$ :

\frac{\sin 0 - \ln (1 + 0)}{0 \cdot \sin 0} = \frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0} (Indeterminación)

Paso 2: Primera aplicación de L'Hôpital

Derivamos numerador y denominador:

Numerador: \frac{d}{d x} (\sin x - \ln (1 + x)) = \cos x - \frac{1}{1 + x}

Denominador: \frac{d}{d x} (x \sin x) = \sin x + x \cos x

Nuevo límite:

lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln (1 + x)}{x \sin x} = lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1 + x}}{\sin x + x \cos x}

Evaluando en $x = 0$ : $\frac{1 - 1}{0 + 0} = \frac{0}{0}$ (aplicar L'Hôpital nuevamente).

Paso 3: Segunda aplicación de L'Hôpital

Derivamos numerador y denominador:

Numerador: \frac{d}{d x} (\cos x - \frac{1}{1 + x}) = - \sin x + \frac{1}{(1 + x)^{2}}

Denominador: \frac{d}{d x} (\sin x + x \cos x) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x

Nuevo límite:

lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln (1 + x)}{x \sin x} = lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1 + x}}{\sin x + x \cos x} = lim_{x \to 0} \frac{- \sin x + \frac{1}{(1 + x)^{2}}}{2 \cos x - x \sin x}

Paso 4: Evaluar el resultado

Sustituimos $x = 0$ :

lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln (1 + x)}{x \sin x} = lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1 + x}}{\sin x + x \cos x} = lim_{x \to 0} \frac{- \sin x + \frac{1}{(1 + x)^{2}}}{2 \cos x - x \sin x} = \frac{- 0 + \frac{1}{1^{2}}}{2 \cdot 1 - 0} = \frac{1}{2}

Resultado: $\frac{1}{2}$

Solución apartado b:

Límite: $lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1: Evaluar indeterminación

Sustituyendo $x = 0$ :

\frac{e^{0} - e^{0}}{0^{2}} = \frac{0}{0} (Indeterminación)

Paso 2: Primera aplicación de L'Hôpital

Derivamos numerador y denominador:

Numerador: \frac{d}{d x} (e^{\sin x} - e^{x}) = e^{\sin x} \cos x - e^{x}

Denominador: \frac{d}{d x} x^{2} = 2 x

Nuevo límite:

lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} \cos x - e^{x}}{2 x}

Evaluando en $x = 0$ : $\frac{1 \cdot 1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$ (aplicar L'Hôpital nuevamente).

Paso 3: Segunda aplicación de L'Hôpital

Derivamos numerador y denominador:

Numerador: \frac{d}{d x} (e^{\sin x} \cos x - e^{x}) = e^{\sin x} (\cos^{2} x - \sin x) - e^{x}

Denominador: \frac{d}{d x} 2 x = 2

Nuevo límite:

lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} (\cos^{2} x - \sin x) - e^{x}}{2}

Paso 4: Evaluar el resultado

Sustituimos $x = 0$ :

\frac{e^{0} (1^{2} - 0) - e^{0}}{2} = \frac{1 (1) - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0

Resultado: $0$

Problema 4 - Función f(x)

EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

Problema 4

Considere la función:

f (x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}},

definida para todo valor de $x > 0$ .

(a) (0,5 p.) Calcule $lim_{x \to + \infty} f (x)$ .

(b) (1,5 p.) Calcule la integral indefinida $\int f (x) d x$ .

\int_{1}^{a} f (x) d x = 4.

Solución

Apartado (a): Cálculo del límite cuando $x \to + \infty$ .

Tenemos la función:

f (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}},

El límite es de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ , por lo que podemos aplicar la regla de L'Hopital. Derivamos numerador y denominador:

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{1 / x}{1 / (2 \sqrt{x})} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0.

Por lo tanto, $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .

Problema E8 - Análisis

EBAU Castilla y León Convocatoria Ordinaria 2024

Problema E8

Calcular:

(a) $lim_{x \to 0} \frac{x (e^{x} - 1)}{\cos x - 1}$ (1 punto)

(b) $\int_{0}^{2} e^{- x} (x - 1) d x$ (1 punto)

Solución

Paso 1: Verificación de la forma indeterminada

Al evaluar la función en $x = 0$ :

Numerador: $x (e^{x} - 1) \to 0 \cdot (1 - 1) = 0$ .
Denominador: $\cos x - 1 \to 1 - 1 = 0$ .

Obtenemos la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ , lo que permite aplicar L'Hôpital.

Paso 2: Primera aplicación de L'Hôpital

Sea $f (x) = x (e^{x} - 1) y g (x) = \cos x - 1.$

Diferenciamos ambos:

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)] = (e^{x} - 1) + x \cdot e^{x}$ .
$g^{'} (x) = \frac{d}{d x} [\cos x - 1] = - \sin x$ .

El límite se transforma en: $lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 + x e^{x}}{- \sin x} .$

Evaluando en $x = 0$ :

Numerador: $e^{0} - 1 + 0 \cdot e^{0} = 1 - 1 + 0 = 0$ .
Denominador: $- \sin 0 = 0$ .

La forma sigue siendo $0 / 0$ , por lo que aplicamos L'Hôpital nuevamente.

Paso 3: Segunda aplicación de L'Hôpital

Diferenciamos nuevamente el numerador y el denominador:

Derivamos el numerador $f^{'} (x) = e^{x} - 1 + x e^{x}$ : $f^{″} (x) = \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 + x e^{x}] = e^{x} + e^{x} + x e^{x} = 2 e^{x} + x e^{x} .$
Derivamos el denominador $g^{'} (x) = - \sin x$ : $g^{″} (x) = - \cos x .$

Entonces, el límite se convierte en: $lim_{x \to 0} \frac{f^{″} (x)}{g^{″} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x} + x e^{x}}{- \cos x} .$

Evaluamos en $x = 0$ :

Numerador: $2 e^{0} + 0 \cdot e^{0} = 2$ .
Denominador: $- \cos 0 = - 1$ .

Así, el límite es: $\frac{2}{- 1} = - 2.$

Conclusión:

Aplicando L'Hôpital dos veces, se concluye que:

lim_{x \to 0} \frac{x (e^{x} - 1)}{\cos x - 1} = - 2.