INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Conocimientos previos

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Integrales trigonométricas: Enlace al vídeo

¿cómo integro el sen(x)? ¿como integro cos(x)?

Por integrales trigonométricas nos referimos a integrales cuyo resultado es una función trigonométrica de la variable x o una función trigonométrica de una función de la variable x. En el vídeo vemos como integrar sen(x), cos(x), sec^2(x), cosec^2(x), sec(x)tg(x) y cosec(x)cotg(x).

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Problema 4 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

Pregunta 4.

Dada la función $f (x) = \sin (π - 2 x),$ (a) [1.25 p.] Calcula una primitiva de $f$ que pase por el punto $(\frac{π}{2}, 1)$ . (b) [1.25 p.] Calcula el área limitada por la función $f$ , el eje $O X$ y las rectas verticales $x = - \frac{π}{4}$ y $x = \frac{π}{4}$ .

Solución

Apartado a: Cálculo de una primitiva de $f (x) = \sin (π - 2 x)$

Para hallar una primitiva $F (x)$ de $f (x)$ reescribimos la integral:

$F (x) = \int \sin (π - 2 x) d x = - \frac{1}{2} \int (- 2) \sin (π - 2 x) d x .$

Sabemos que $\int u^{'} \sin (u) d x = - \cos (u) + C$ , de modo que:

$F (x) = - \frac{1}{2} [- \cos (π - 2 x)] + C = \frac{1}{2} \cos (π - 2 x) + C .$

Para determinar la constante $C$ , usamos la condición $F (\frac{π}{2}) = 1$ :

$F (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cos (π - 2 \cdot \frac{π}{2}) + C = \frac{1}{2} \cos (0) + C = \frac{1}{2} (1) + C .$

Igualando a 1:

$\frac{1}{2} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2}$ .

Por lo tanto, una primitiva de $f$ que pase por $(\frac{π}{2}, 1)$ es:

$F (x) = \frac{1}{2} \cos (π - 2 x) + \frac{1}{2} .$