MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS. TEOREMA DE WEIRSTRASS

Conocimientos previos

Derivación.

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Máximos y mínimos relativos (Criterio de la derivada n-ésima): Enlace al vídeo

¿qué son los máximos y mínimos absolutos? ¿Qué dice el teorema de weierstrass?

En matemáticas, los máximos y mínimos absolutos (o extremos absolutos) se refieren a los valores más altos y más bajos que alcanza una función en todo su dominio o en un intervalo específico. Veamos las diferencias con los relativos:

Máximo absoluto: Es el valor más alto de la función.
Mínimo absoluto: Es el valor más bajo de la función.

¿Cómo hallo los máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo cerrado [a,b]?

Hallar los puntos críticos: Calcula la derivada f'(x) e iguala a cero. Encuentra los valores de x dentro del intervalo [a,b] donde la derivada se anula o no existe.
Evaluar la función: Calcula el valor de f(x) en los siguientes puntos:
- Los puntos críticos hallados en el paso 1.
- Los extremos del intervalo, f(a) y f(b).
Comparar valores: El mayor de los valores obtenidos será el máximo absoluto, y el menor será el mínimo absoluto.

Importante: Una función continua siempre tiene máximo y mínimo absoluto en un intervalo cerrado (Teorema de Weierstrass).

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

exámenes de pau de matemáticas ii

Problema 3 - Función f(x)

EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

Problema 3

Considere la función:

f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 2 x + 3},

definida para todo valor de $x \in R$ .

(a) (0,5 p.) Calcule $lim_{x \to - \infty} f (x)$ y $lim_{x \to + \infty} f (x)$ .

(b) (1,5 p.) Determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f (x)$ y calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos).

(c) (0,5 p.) Justifique que la función alcanza sus extremos absolutos (máximo y mínimo absolutos) y calcule el valor de dichos extremos absolutos.

Solución

Apartado (c): Extremos absolutos.

Ya que la función es continua y derivable en todo $x \in R$ , y además tiene límites finitos cuando $x \to \pm \infty$ , alcanzará sus extremos absolutos en los puntos críticos.

Por lo tanto, la función tiene un mínimo absoluto en $x = 0$ con valor $f (0) = 0$ , y un máximo absoluto en $x = 3$ con valor $f (3) = 3$ .

Problema E5 - Análisis

EBAU Castilla y León 2024 - Matemáticas II

Problema E5

(Análisis)

Probar que la ecuación $e^{- x} (x - 1) = 1$ no tiene solución para $x \in R$ . (2 puntos)

Solución

Paso 1: Reescribir la ecuación.

Partimos de la ecuación dada:

e^{- x} (x - 1) = 1.

Multiplicamos ambos lados por $e^{x}$ (que es siempre positivo para todo $x \in R$ ) y obtenemos:

x - 1 = e^{x} .

Reordenando, la ecuación es equivalente a:

e^{x} - x + 1 = 0.

Paso 2: Definir una función auxiliar y analizar su comportamiento.

Sea $g (x) = e^{x} - x + 1.$ Queremos probar que la ecuación $g (x) = 0$ no tiene solución real.

Primero, evaluamos $g (x)$ en $x = 0$ :

g (0) = e^{0} - 0 + 1 = 1 + 1 = 2.

Notamos que $g (0) = 2 > 0$ .

Ahora, calculemos la derivada de $g (x)$ :

g^{'} (x) = e^{x} - 1.

La derivada se anula cuando:

e^{x} - 1 = 0 ⟹ e^{x} = 1 ⟹ x = 0.

Para verificar la naturaleza del punto crítico en $x = 0$ , calculamos la segunda derivada:

g^{″} (x) = e^{x} .

Como $g^{″} (0) = e^{0} = 1 > 0$ , se concluye que $x = 0$ es un mínimo local.

Por lo tanto, para todo $x \in R$ se tiene:

g (x) \geq g (0) = 2 > 0.

Paso 3: Conclusión.

Como $g (x) = e^{x} - x + 1$ es mayor o igual que 2 para todo $x \in R$ , la ecuación $g (x) = 0$ no tiene solución real.

Por lo tanto, la ecuación original $e^{- x} (x - 1) = 1$ no tiene solución para $x \in R$ .

Conclusión Final:

Hemos demostrado que, al transformar la ecuación dada a $e^{x} - x + 1 = 0$ y definir la función $g (x) = e^{x} - x + 1$ , se concluye que $g (x) \geq 2 > 0$ para todo $x \in R$ . Por tanto, la ecuación no admite solución real.