ECUACIONES MATRICIALES

CONOCIMIENTOS PREVIOS

concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar

Ecuaciones matriciales: Enlace al vídeo.

PDF del vídeo: Descargar PDF.

¿Qué es una ecuación matricial?
¿Cómo resuelvo una ecuación matricial?

¿Qué es una ecuación matricial?

  • Una ecuación donde al menos una variable es una matriz.
  • A menudo, la tarea es resolver para una matriz desconocida, digamos 'X' una ecuación del tipo 2AX + B = C (Donde A, B y C son matrices conocidas)

 

¿Cómo resuelvo una ecuación matricial?

Para resolver ecuaciones matriciales se usan operaciones elementales del tipo:

  1. Manipulación básica: Se usan operaciones como la suma, la resta y la multiplicación por escalar (multiplicar una matriz por un número). Por ejemplo: AX = (C-B)/2
  2. Multiplicar por la matriz inversa: Siguiendo el ejemplo anterior, si existe, la inversa de la matriz 'A' (se escribe A⁻¹):                     X = A⁻¹(C-B)/2.

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

Exámenes de pau de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

  • Andalucía Junio 2024 Examen Oficial (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 1 Apartado b: Enlace al vídeo

      PDF del vídeo: Descargar el PDF

  • Andalucía Junio 2024 Examen Suplente (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 1 Apartado a: Enlace al vídeo

      PDF del vídeo: Descargar el PDF

  • Andalucía Junio 2024 Examen Suplente (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 1 Apartado b: Enlace al vídeo

      PDF del vídeo: Descargar el PDF

exámenes de pau de matemáticas ii

  • Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 5 Apartado b: Enlace al vídeo

       PDF del vídeo: Descargar el PDF

    PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II

    PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024

    Ejercicio B1.

    Consideremos las matrices reales A=(3−111111−13),B=(b2bb2b3bbbbb),C=(200020003), con b≠0.

    Se pide:

    • (a) Encontrar todos los valores de b para los que se verifica BCB−1=A.
    • (b) Calcular el determinante de la matriz AAt.
    • (c) Resolver el sistema B(xyz)=(3−11) para b=1.

    Solución

    B1 (a):

    La ecuación a verificar es BCB−1=A. Multiplicando por la derecha por B (recordando que B es invertible para b≠0), obtenemos: BC=AB.

    Observamos que la matriz B está dada por B=(b2bb2b3bbbbb). Al calcular BC, aprovechamos que C es diagonal; cada columna de B se multiplica por el elemento correspondiente de C: BC=(b⋅22b⋅2b⋅32b⋅23b⋅2b⋅3b⋅2b⋅2b⋅3)=(2b4b3b4b6b3b2b2b3b).

    Ahora, calculamos AB. Dado A=(3−111111−13)yB=(b2bb2b3bbbbb), obtenemos:

    Primera fila de AB:
    (1,1):3⋅b+(−1)⋅2b+1⋅b=3b−2b+b=2b,(1,2):3⋅2b+(−1)⋅3b+1⋅b=6b−3b+b=4b,(1,3):3⋅b+(−1)⋅b+1⋅b=3b−b+b=3b.

    Segunda fila de AB:
    (2,1):1⋅b+1⋅2b+1⋅b=4b,(2,2):1⋅2b+1⋅3b+1⋅b=6b,(2,3):1⋅b+1⋅b+1⋅b=3b.

    Tercera fila de AB:
    (3,1):1⋅b+(−1)⋅2b+3⋅b=b−2b+3b=2b,(3,2):1⋅2b+(−1)⋅3b+3⋅b=2b−3b+3b=2b,(3,3):1⋅b+(−1)⋅b+3⋅b=b−b+3b=3b.

    Así, se tiene: AB=(2b4b3b4b6b3b2b2b3b).

    Al comparar BC y AB, vemos que son idénticas. Por lo tanto, la igualdad BCB−1=A se verifica para todo valor de b distinto de 0.

    Conclusión (a): Los valores de b que satisfacen la ecuación son todos los reales distintos de cero, es decir, b∈R∖{0}, ya que si b=0 la matriz B no tendría inversa.

    Problema 1 (b) - ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II

    ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II

    Pregunta 1. Números y Álgebra. (2 puntos)

    Sean A y B dos matrices tales que A+2B=(6−303)yA+B=(4−102).

    (a) Calcule A2.

    (b) Calcule la matriz X que satisface la igualdad A2X−(A+B)T=3I−2X, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A+B)T la traspuesta de (A+B).

    Solución del apartado b:

    Paso 1: Resolución de las matrices A y B

    Tenemos las siguientes ecuaciones matriciales:

    Ec1: A+2B=(6−303)

    Ec2: A+B=(4−102)

    Restamos Ec2 de Ec1:

    (A+2B)−(A+B)=B=(6−4−3−(−1)0−03−2)=(2−201).

    Sustituyendo B en Ec2:

    A=(4−102)−B=(4−2−1−(−2)0−02−1)=(2101).

    Paso 2: Despeje de X

    Se nos da la ecuación:

    A2X−(A+B)T=3I−2X.

    Sumamos 2X a ambos lados:

    A2X+2X=3I+(A+B)T.

    Factorizamos X:

    (A2+2I)X=3I+(A+B)T.

    Despejamos X:

    X=(A2+2I)−1[3I+(A+B)T].

    Paso 3: Cálculo de A2+2I y 3I+(A+B)T

    Con A=(2101), calculamos:

    A2=(2101)(2101)=(4301).

    La matriz identidad de orden 2 es I=(1001) y, por lo tanto, 2I=(2002).

    Así:

    A2+2I=(4+23+00+01+2)=(6303).

    De la Ec2, tenemos:

    A+B=(4−102)⇒(A+B)T=(40−12).

    Y

    3I=(3003).

    Sumando:

    3I+(A+B)T=(3+40+00−13+2)=(70−15).

    Paso 4: Resolución final para X por reducción

    La ecuación matricial es:

    (A2+2I)X=(70−15), es decir,

    (6303)X=(70−15).

    Para despejar X, multiplicamos por la inversa de (A2+2I). Calculamos la inversa de M=A2+2I=(6303).

    El determinante de M es:

    det(M)=6⋅3−3⋅0=18.

    Por lo tanto, la inversa es:

    M−1=118(3−306)=(16−16013).

    Así, se tiene:

    X=M−1[3I+(A+B)T]=(16−16013)(70−15).

    Multiplicamos mediante reducción:

    • Elemento (1,1): 16⋅7+(−16)⋅(−1)=76+16=86=43.
    • Elemento (1,2): 16⋅0+(−16)⋅5=0−56=−56.
    • Elemento (2,1): 0⋅7+13⋅(−1)=−13.
    • Elemento (2,2): 0⋅0+13⋅5=53.

    Así, se obtiene:

    X=(43−56−1353).