PAU/EBAU extremadura bloque III: Geometría

Ejercicios de Álgebra EBAU Canarias

PAU/EBAU Extremadura - Modelo de examen 2025

Ejercicio 3A (2,5 puntos)

Sea el punto P(1,0,2) y la recta r:x52=y32=z+33
Se pide:
a) La ecuación continua de la recta s que pasa por P y que corta a r perpendicularmente r. [1 punto]
b) La ecuación del plano que contiene a las dos rectas r y s. [0,75 puntos]
c) La distancia del punto P a la recta r. [0,75 puntos]

Ejercicio 3B (2,5 puntos)

Sean P(1,2,3),Q(2,1,0) y R(0,5,1) los vértices de un triángulo:
a) Calcula el área y el perímetro de dicho triángulo. [1,5 puntos]
b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos P,Q y R. [1 punto]

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Extraordinaria 2024

Ejercicio 3 (2 puntos)

a) Dados los vectores u=(2,1,0),v=(5,0,1) y w=(a,b,1) calcular a y b para que u y w sean perpendiculares y además los tres vectores u,v y w sean linealmente dependientes. (1 punto)
b) Calcular el volumen del paralelepípedo que forman u,v y z=(1,2,1). (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Se consideran las rectas r:{x=12λy=5+2λz=6λ y s:x+11=y1a=z3
a) Calcular a para que ambas rectas sean paralelas. (1 punto)
b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano de ecuación 3x+4y4=0. (1 punto)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Ordinaria 2024

Ejercicio 3 (2 puntos)

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r{xy4z+1=0x2z+1=0 y es paralelo a la recta de ecuación s=x12=y31=z3. (2 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dados los puntos A(1,2,1),B(0,3,1) y C(1,0,1). Determinar:
a) Un vector unitario y ortogonal a los vectores AB y AC. (1 punto)
b) El ángulo determinado por dichos vectores. (0.5 puntos)
c) El área del triángulo que forman A,B y C. (0.5 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Modelo de examen 2024

3. Se consideran los puntos A(0, 5, 3), B(0, 6, 4), C(2, 4, 2) y D(2, 3, 1) y se pide:

a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios. (0.75 punto)

b) Demostrar que es un paralelogramo y calcular su área. (1.25 puntos)

4. Considere el plano π : 2x + y − z = 1 y el punto A(1, 0, −1)

a) Calcule la recta perpendicular a π que pasa por el punto A. (1 punto)

b) Calcule el punto del plano π que está más cerca de A. (1 punto)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Extraordinaria 2023

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean los vectores u=(0,0,2),v=(1,1,0),w=(2,1,1)
a) ¿Son u,v y w linealmente independientes? (0.75 puntos)
b) Calcular el área del triángulo formado por los vectores u y v. (0.75 puntos)
c) Calcular un vector de módulo uno perpendicular a los vectores v y w. (0.75 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dados los puntos A=(0,0,2) y B=(1,1,0) y la recta r={x=1y=z
a) Hallar el plano que contiene a r y es paralelo al vector AB. (0.75 puntos)
b) Hallar la distancia del punto A a la recta r. (0.75 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Ordinaria 2023

Ejercicio 3 (2 puntos)

Estudiar la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro b
x+2yz=2x+(1+b)ybz=2bx+by+(1+b)z=1} (2 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Hallar un vector de módulo 5 que sea ortogonal a los vectores u=(1,2,0) y v=(1,0,1). (2 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Extraordinaria 2022

Ejercicio 3 (2 puntos)

Dados los puntos A=(0,0,2) y B=(1,1,0) y la recta r:{x=1y=z. (2 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Sean las rectas: r:{x=22yz=1x y s:x12=y31=z+12.
a) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s. (1 punto)
b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Ordinaria 2022

Ejercicio 3 (2 puntos)

Dados el plano π de ecuación x+2yz=0 y r la recta de ecuaciones r:{y2x=1xz=0,
a) Hallar el punto de intersección del plano π y la recta r. (1 punto)
b) Calcular la distancia del origen a la recta r. (1 punto)

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Ejercicio 4 (2 puntos)

Dada la recta r definida por
x12=y+13=z21,
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. (1 punto)
b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. (1 punto)

PAU/EBAU Extremadura - Modelo de examen 2022

3. Dados los vectores ~u = (1, 1, 0), ~v = (−3, −2, a) y ~w = (a + 1, 1, −1):

a) ¿Qué valores puede tomar a para que los tres vectores sean linealmente independientes? (1 punto)

b) Calcule los vectores paralelos al vector ~u de módulo 7. (1 punto)

4. Dadas las rectas: r : {
2x − y + z = 1
x = 2

y s : x + 1/2 = y/3 = z − 2/−1,

a) Calcule el plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. (1 punto)

b) Calcule el ángulo que forman las dos rectas. (1 punto)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Extraordinaria 2021

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean las rectas r y s dadas por r:{x=1+λy=23λz=1, s:{x+y+z=2xyz=4
a) Obtener un plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. (1 punto)
b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Calcular un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores u=(1,1,1) y v=(2,1,0). (2 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Ordinaria 2021

Ejercicio 3 (2 puntos)

Dados el plano Πkx+yz=0 y la recta rx42=y21=z+21.
a) Determinar los valores del parámetro kR para que el plano Π contenga a r. (1 punto)
b) Para k=0, calcular el ángulo que forman Π y r. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Sea el plano Πx+y+z=1. Encontrar un plano paralelo a Π tal que el triángulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes tenga área 23. (2 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Modelo de examen 2021

3. Dados los puntos A = (1, 2, 1), B = (0, 3, 1) y C = (1, 0, −1).

a) Hallar un vector unitario y ortogonal a los vectores AB y AC. (1 punto)

b) Hallar el área del triángulo que forman los puntos A, B y C. (1 punto)

4. Sea r la recta determinada por el punto P = (0, −2, 3) y el vector ~u = (1, 2, −1).

a) Hallar el plano Π paralelo a r y que contiene a la recta s : x−2/2 = y = z + 1. (1 punto)

b) Hallar el plano Π1 perpendicular a r y que pasa por el punto Q = (0, −2, 3). (1 punto)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Extraordinaria 2020

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean los vectores u=(4,3,α),v=(α,1,0) y w=(2α,1,α) (con αR)
a) Determine los valores de α para que u,v y w sean linealmente independientes. (1 punto)
b) Para el valor α=1 exprese w como combinación lineal de u y v. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dados el plano π1 determinado por los puntos (0,1,1),(2,0,2) y (1,2,6) y el plano π2 dado por la ecuación xy+z=3. Calcule una recta paralela a los dos planos y que no esté contenida en ninguno de ellos. (2 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Ordinaria 2020

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean el plano π de ecuación 2x+yz2=0 y la recta r dada por x3=y23=z13
a) Estudie la posición relativa de la recta respecto del plano. (1 punto)
b) Calcule la distancia de la recta al plano. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,3,2),B(4,3,1) y C(1,0,1) como podemos observar en la siguiente representación:
a) Calcule el cuarto vértice D. (1 punto)
b) Calcule el área del paralelogramo. (1 punto)

Figura ejercicio 4
Ejercicios de Álgebra EBAU Canarias

PAU/EBAU Extremadura - Modelo de examen 2020

3. Sean las rectas r : {
x + 2y = 7
y + 2z = 4

y s : x - 1 = y/3 = z + 1/2.

(a) Estudie la posición relativa de las dos rectas. (1 punto)

(b) Calcule la distancia del punto P = (16, 0, 0) a la recta r. (1 punto)

4. Dados los vectores ~u = (1, 3, −1), ~v = (2, 0, 1) y ~w = (2, −1, 0).

a) ¿Los tres vectores forman una base de ℝ3? (0.5 puntos)

b) Halla el área del triángulo formado por los vectores ~u y ~v. (0,75 puntos)

c) Hala un vector perpendicular a los vectores ~u y ~w de módulo 1. (0,75 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Extraordinaria 2019

Ejercicio 2 OPCIÓN A (2 puntos)

Sean las rectas r:{x=1+yz=1 y s:{x=1+λy=0z=λ
a) Estudie si las trayectorias de las rectas se cortan, se cruzan o coinciden. (1 punto)
b) Halle dos vectores directores de r y s. Calcule el área del triángulo que forman. (1 punto)

Ejercicio 2 OPCIÓN B (2 puntos)

Sean r la recta que pasa por los puntos A=(0,0,1) y B=(0,2,1) y s la recta que pasa por los puntos C=(1,2,0) y D=(1,0,1).
a) Calcule el plano π que contiene a s y es paralelo a r. (1 punto)
b) Calcule la distancia entre r y s. (1 punto)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Ordinaria 2019

Ejercicio 2 OPCIÓN A (2 puntos)

Sean los puntos A=(0,0,2),B=(2,0,1),C=(0,2,1) y D=(2,2,1).
a) Halle la ecuación del plano π determinado por los puntos A,B y C. (0,75 puntos)
b) Demuestre que los cuatro puntos no son coplanarios. (0,5 puntos)
c) Calcule el área del triángulo formado por los puntos B,C y D. (0,75 puntos)

Ejercicio 2 (2 puntos)

Dados los puntos A=(1,0,2) y B=(3,2,2). Calcule la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio. (2 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Extraordinaria 2018

Ejercicio 2A (2,5 puntos)

Sean los puntos A=(2,0,1),B=(2,0,3) y la recta r dada por el punto C=(1,0,2) y el vector v¯=(1,0,0). Determine los puntos P de la recta r para los cuales el área del triángulo ABP es 2. (2,5 puntos)

Ejercicio 2B (2,5 puntos)

Sean las rectas r=x33=y51=z24 y s={xyz=22x+2yz=4.
a) Estudie la posición relativa de dichas rectas. (1 punto)
b) Halle la distancia entre ambas rectas. (1,5 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Ordinaria 2018

Ejercicio 2A (2,5 puntos)

Sean el plano Π:y+z=0 y la recta r:x+11=y12=z11.
a) Calcule la intersección del plano y la recta. (1 punto)
b) Determine la recta s que pasa por el punto P=(1,0,0), es paralela al plano Π y es perpendicular a la recta r. (1,5 puntos)

Ejercicio 2B (2,5 puntos)

Sea el punto A=(1,0,1) y la recta r dada por el punto B=(1,0,2) y el vector v¯=(1,1,0).
a) Calcule la distancia del punto A a la recta r. (1,5 puntos)
b) Calcule el área del triángulo de vértices A,B y O siendo O=(0,0,0). (1 punto)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Extraordinaria 2017

Ejercicio 2A (2 puntos)

Considere en R5 las rectas r:{x=0y=0, s:{x+y=1z=0
a) Obtenga un vector director de la recta s. (0,5 puntos)
b) Obtenga el plano Π1 que contiene a r y es paralelo a s. (1 punto)
c) Obtenga el plano Π2 que contiene a r y es perpendicular a s. (1 punto)

Ejercicio 2B (2,5 puntos)

Considere en R3 los puntos A(1,2,1),B=(2,1,3),C=(0,1,1) y D=(0,3,1), y sea r la recta que pasa por A y B.
a) Calcule ecuaciones paramétricas de r. (1 punto)
b) Obtenga un punto P de la recta r tal que la distancia de C a P sea igual a la distancia de D a P. (1,5 puntos)

PAU/EBAU Extremadura - Convocatoria Ordinaria 2017

Ejercicio 2 OPCIÓN A (2 puntos)

Sean en R3 los vectores e=(0,1,0),u=(3,2,2) y v=(0,1,1).
a) Calcule el producto vectorial e×u. (0,75 puntos)
b) Calcule el ángulo φ que forman u y v. (0,75 puntos)
c) Demuestre que la familia de vectores {e,u,v} es linealmente independiente. (1 punto)

Ejercicio 2B (2,5 puntos)

En R3 se consideran las rectas de ecuaciones:
r:{3x+2y=0x2z=8, s=x+12=y3a=z11.
a) Halle el valor de a para que r y s sean paralelas. (1 punto)
b) Para el valor de a obtenido en el anterior apartado, calcule la distancia entre las rectas r y s. (1,5 puntos)