Ejercicio 3A (2,5 puntos)

Sea el punto $P(1,0,-2)$ y la recta $r:\frac{x-5}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{-3}$
Se pide:
a) La ecuación continua de la recta $s$ que pasa por $P$ y que corta a $r$ perpendicularmente $r$. [1 punto]
b) La ecuación del plano que contiene a las dos rectas $r$ y $s$. [0,75 puntos]
c) La distancia del punto $P$ a la recta $r$. [0,75 puntos]

Ejercicio 3B (2,5 puntos)

Sean $P(-1,2,3),Q(-2,1,0)$ y $R(0,5,1)$ los vértices de un triángulo:
a) Calcula el área y el perímetro de dicho triángulo. [1,5 puntos]
b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos $P,Q$ y $R$. [1 punto]

Ejercicio 3 (2 puntos)

a) Dados los vectores $\overrightarrow{u}=(2,1,0),\overrightarrow{v}=(5,0,1)$ y $\overrightarrow{w}=(a,b,1)$ calcular $a$ y $b$ para que $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{w}$ sean perpendiculares y además los tres vectores $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$ sean linealmente dependientes. (1 punto)
b) Calcular el volumen del paralelepípedo que forman $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{z}=(1,2,1)$. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Se consideran las rectas $r:\{\begin{array}{l}x=1-2\lambda \\ y=5+2\lambda \\ z=-6\lambda \end{array}$ y $s:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{a}=\frac{z}{3}$
a) Calcular $a$ para que ambas rectas sean paralelas. (1 punto)
b) Hallar el ángulo que forman la recta $r$ y el plano de ecuación $-3x+4y-4=0$. (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x-y-4z+1=0\\ x-2z+1=0\end{array}$ y es paralelo a la recta de ecuación $s=\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z}{3}$. (2 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dados los puntos $A(1,2,1),B(0,3,1)$ y $C(1,0,-1)$. Determinar:
a) Un vector unitario y ortogonal a los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. (1 punto)
b) El ángulo determinado por dichos vectores. (0.5 puntos)
c) El área del triángulo que forman $A,B$ y $C$. (0.5 puntos)

3. Se consideran los puntos A(0, 5, 3), B(0, 6, 4), C(2, 4, 2) y D(2, 3, 1) y se pide:

a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios. (0.75 punto)

b) Demostrar que es un paralelogramo y calcular su área. (1.25 puntos)

4. Considere el plano π : 2x + y − z = 1 y el punto A(1, 0, −1)

a) Calcule la recta perpendicular a π que pasa por el punto A. (1 punto)

b) Calcule el punto del plano π que está más cerca de A. (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean los vectores $\overrightarrow{u}=(0,0,2),\overrightarrow{v}=(1,1,0),\overrightarrow{w}=(2,-1,1)$
a) ¿Son $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$ linealmente independientes? (0.75 puntos)
b) Calcular el área del triángulo formado por los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$. (0.75 puntos)
c) Calcular un vector de módulo uno perpendicular a los vectores $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$. (0.75 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dados los puntos $A=(0,0,2)$ y $B=(1,1,0)$ y la recta $r=\{\begin{array}{l}x=1\\ y=z\end{array}$
a) Hallar el plano que contiene a $r$ y es paralelo al vector $\overrightarrow{AB}$. (0.75 puntos)
b) Hallar la distancia del punto $A$ a la recta $r$. (0.75 puntos)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Estudiar la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro $b$
$\begin{array}{l}x+2y-z=2\\ x+(1+b)y-bz=2b\\ x+by+(1+b)z=1\end{array}\}$ (2 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Hallar un vector de módulo 5 que sea ortogonal a los vectores $\overrightarrow{u}=(1,2,0)$ y $\overrightarrow{v}=(-1,0,1)$. (2 puntos)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Dados los puntos $A=(0,0,2)$ y $B=(1,1,0)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=z\end{array}$. (2 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Sean las rectas: $r:\{\begin{array}{l}x=2-2y\\ z=1-x\end{array}$ y $s:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{-2}$.
a) Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (1 punto)
b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Dados el plano $\pi$ de ecuación $x+2y-z=0$ y $r$ la recta de ecuaciones $r:\{\begin{array}{l}y-2x=1\\ x-z=0\end{array}$,
a) Hallar el punto de intersección del plano $\pi$ y la recta $r$. (1 punto)
b) Calcular la distancia del origen a la recta $r$. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dada la recta $r$ definida por
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{1}$,
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$. (1 punto)
b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$. (1 punto)

3. Dados los vectores ~u = (1, 1, 0), ~v = (−3, −2, a) y ~w = (a + 1, 1, −1):

a) ¿Qué valores puede tomar a para que los tres vectores sean linealmente independientes? (1 punto)

b) Calcule los vectores paralelos al vector ~u de módulo 7. (1 punto)

4. Dadas las rectas: r : {
2x − y + z = 1
x = 2

y s : ^{x + 1}/₂ = ^y/₃ = ^{z − 2}/₋₁,

a) Calcule el plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. (1 punto)

b) Calcule el ángulo que forman las dos rectas. (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean las rectas $r$ y $s$ dadas por $r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2-3\lambda \\ z=1\end{array}$, $s:\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x-y-z=4\end{array}$
a) Obtener un plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. (1 punto)
b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Calcular un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores $\overrightarrow{u}=(1,1,-1)$ y $\overrightarrow{v}=(2,1,0)$. (2 puntos)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Dados el plano $\mathrm{\Pi }\equiv kx+y-z=0$ y la recta $r\equiv \frac{x-4}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$.
a) Determinar los valores del parámetro $k\in \mathbb{R}$ para que el plano $\mathrm{\Pi }$ contenga a $r$. (1 punto)
b) Para $k=0$, calcular el ángulo que forman $\mathrm{\Pi }$ y $r$. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Sea el plano $\mathrm{\Pi }\equiv x+y+z=1$. Encontrar un plano paralelo a $\mathrm{\Pi }$ tal que el triángulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes tenga área $2\sqrt{3}$. (2 puntos)

3. Dados los puntos A = (1, 2, 1), B = (0, 3, 1) y C = (1, 0, −1).

a) Hallar un vector unitario y ortogonal a los vectores AB y AC. (1 punto)

b) Hallar el área del triángulo que forman los puntos A, B y C. (1 punto)

4. Sea r la recta determinada por el punto P = (0, −2, 3) y el vector ~u = (1, 2, −1).

a) Hallar el plano Π paralelo a r y que contiene a la recta s : ^x−2/₂ = y = z + 1. (1 punto)

b) Hallar el plano Π₁ perpendicular a r y que pasa por el punto Q = (0, −2, 3). (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean los vectores $\overrightarrow{u}=(4,3,\alpha ),\overrightarrow{v}=(\alpha ,1,0)$ y $\overrightarrow{w}=(2\alpha ,1,\alpha )$ (con $\alpha \in \mathbb{R}$)
a) Determine los valores de $\alpha$ para que $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$ sean linealmente independientes. (1 punto)
b) Para el valor $\alpha =1$ exprese $\overrightarrow{w}$ como combinación lineal de $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dados el plano ${\pi }_1$ determinado por los puntos $(0,1,1),(2,0,2)$ y $(1,2,6)$ y el plano ${\pi }_2$ dado por la ecuación $x-y+z=3$. Calcule una recta paralela a los dos planos y que no esté contenida en ninguno de ellos. (2 puntos)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean el plano $\pi$ de ecuación $2x+y-z-2=0$ y la recta $r$ dada por $\frac{x}{3}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-1}{3}$
a) Estudie la posición relativa de la recta respecto del plano. (1 punto)
b) Calcule la distancia de la recta al plano. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(1,3,-2),B(4,3,1)$ y $C(1,0,1)$ como podemos observar en la siguiente representación:
a) Calcule el cuarto vértice $D$. (1 punto)
b) Calcule el área del paralelogramo. (1 punto)