Ejercicio 3A (2,5 puntos)

Sea el punto \( P(1, 0, -2) \) y la recta \( r: \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 3}{-3} \)
Se pide:
a) La ecuación continua de la recta \( s \) que pasa por \( P \) y que corta a \( r \) perpendicularmente \( r \). [1 punto]
b) La ecuación del plano que contiene a las dos rectas \( r \) y \( s \). [0,75 puntos]
c) La distancia del punto \( P \) a la recta \( r \). [0,75 puntos]

Ejercicio 3B (2,5 puntos)

Sean \( P(-1, 2, 3), Q(-2, 1, 0) \) y \( R(0, 5, 1) \) los vértices de un triángulo:
a) Calcula el área y el perímetro de dicho triángulo. [1,5 puntos]
b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \( P, Q \) y \( R \). [1 punto]

Ejercicio 3 (2 puntos)

a) Dados los vectores \( \vec{u} = (2, 1, 0), \vec{v} = (5, 0, 1) \) y \( \vec{w} = (a, b, 1) \) calcular \( a \) y \( b \) para que \( \vec{u} \) y \( \vec{w} \) sean perpendiculares y además los tres vectores \( \vec{u}, \vec{v} \) y \( \vec{w} \) sean linealmente dependientes. (1 punto)
b) Calcular el volumen del paralelepípedo que forman \( \vec{u}, \vec{v} \) y \( \vec{z} = (1, 2, 1) \). (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Se consideran las rectas \( r: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2\lambda \\ y = 5 + 2\lambda \\ z = -6\lambda \end{array} \right. \) y \( s: \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{a} = \frac{z}{3} \)
a) Calcular \( a \) para que ambas rectas sean paralelas. (1 punto)
b) Hallar el ángulo que forman la recta \( r \) y el plano de ecuación \( -3x + 4y - 4 = 0 \). (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta \( r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x - y - 4z + 1 = 0 \\ x - 2z + 1 = 0 \end{array} \right. \) y es paralelo a la recta de ecuación \( s = \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z}{3} \). (2 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dados los puntos \( A(1, 2, 1), B(0, 3, 1) \) y \( C(1, 0, -1) \). Determinar:
a) Un vector unitario y ortogonal a los vectores \( \overrightarrow{AB} \) y \( \overrightarrow{AC} \). (1 punto)
b) El ángulo determinado por dichos vectores. (0.5 puntos)
c) El área del triángulo que forman \( A, B \) y \( C \). (0.5 puntos)

3. Se consideran los puntos A(0, 5, 3), B(0, 6, 4), C(2, 4, 2) y D(2, 3, 1) y se pide:

a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios. (0.75 punto)

b) Demostrar que es un paralelogramo y calcular su área. (1.25 puntos)

4. Considere el plano π : 2x + y − z = 1 y el punto A(1, 0, −1)

a) Calcule la recta perpendicular a π que pasa por el punto A. (1 punto)

b) Calcule el punto del plano π que está más cerca de A. (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean los vectores \( \vec{u} = (0, 0, 2), \vec{v} = (1, 1, 0), \vec{w} = (2, -1, 1) \)
a) ¿Son \( \vec{u}, \vec{v} \) y \( \vec{w} \) linealmente independientes? (0.75 puntos)
b) Calcular el área del triángulo formado por los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \). (0.75 puntos)
c) Calcular un vector de módulo uno perpendicular a los vectores \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \). (0.75 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dados los puntos \( A = (0, 0, 2) \) y \( B = (1, 1, 0) \) y la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = z \end{array} \right. \)
a) Hallar el plano que contiene a \( r \) y es paralelo al vector \( \overrightarrow{AB} \). (0.75 puntos)
b) Hallar la distancia del punto \( A \) a la recta \( r \). (0.75 puntos)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Estudiar la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro \( b \)
\( \left. \begin{array}{l} x + 2y - z = 2 \\ x + (1 + b)y - b z = 2b \\ x + b y + (1 + b)z = 1 \end{array} \right\} \) (2 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Hallar un vector de módulo 5 que sea ortogonal a los vectores \( \vec{u} = (1, 2, 0) \) y \( \vec{v} = (-1, 0, 1) \). (2 puntos)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Dados los puntos \( A = (0, 0, 2) \) y \( B = (1, 1, 0) \) y la recta \( r: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = z \end{array} \right. \). (2 puntos)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Sean las rectas: \( r: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 2y \\ z = 1 - x \end{array} \right. \) y \( s: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{-2} \).
a) Estudiar la posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \). (1 punto)
b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Dados el plano \( \pi \) de ecuación \( x + 2y - z = 0 \) y \( r \) la recta de ecuaciones \( r: \left\{ \begin{array}{l} y - 2x = 1 \\ x - z = 0 \end{array} \right. \),
a) Hallar el punto de intersección del plano \( \pi \) y la recta \( r \). (1 punto)
b) Calcular la distancia del origen a la recta \( r \). (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dada la recta \( r \) definida por
\( \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{1} \),
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a \( r \). (1 punto)
b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a \( r \). (1 punto)

3. Dados los vectores ~u = (1, 1, 0), ~v = (−3, −2, a) y ~w = (a + 1, 1, −1):

a) ¿Qué valores puede tomar a para que los tres vectores sean linealmente independientes? (1 punto)

b) Calcule los vectores paralelos al vector ~u de módulo 7. (1 punto)

4. Dadas las rectas: r : {
2x − y + z = 1
x = 2

y s : ^{x + 1}/₂ = ^y/₃ = ^{z − 2}/₋₁,

a) Calcule el plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. (1 punto)

b) Calcule el ángulo que forman las dos rectas. (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean las rectas \( r \) y \( s \) dadas por \( r: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 3\lambda \\ z = 1 \end{array} \right. \), \( s: \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 4 \end{array} \right. \)
a) Obtener un plano \( \pi \) que contiene a la recta \( r \) y es paralelo a la recta \( s \). (1 punto)
b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Calcular un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores \( \vec{u} = (1, 1, -1) \) y \( \vec{v} = (2, 1, 0) \). (2 puntos)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Dados el plano \( \Pi \equiv kx + y - z = 0 \) y la recta \( r \equiv \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{-1} \).
a) Determinar los valores del parámetro \( k \in \mathbb{R} \) para que el plano \( \Pi \) contenga a \( r \). (1 punto)
b) Para \( k = 0 \), calcular el ángulo que forman \( \Pi \) y \( r \). (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Sea el plano \( \Pi \equiv x + y + z = 1 \). Encontrar un plano paralelo a \( \Pi \) tal que el triángulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes tenga área \( 2\sqrt{3} \). (2 puntos)

3. Dados los puntos A = (1, 2, 1), B = (0, 3, 1) y C = (1, 0, −1).

a) Hallar un vector unitario y ortogonal a los vectores AB y AC. (1 punto)

b) Hallar el área del triángulo que forman los puntos A, B y C. (1 punto)

4. Sea r la recta determinada por el punto P = (0, −2, 3) y el vector ~u = (1, 2, −1).

a) Hallar el plano Π paralelo a r y que contiene a la recta s : ^x−2/₂ = y = z + 1. (1 punto)

b) Hallar el plano Π₁ perpendicular a r y que pasa por el punto Q = (0, −2, 3). (1 punto)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean los vectores \( \vec{u} = (4, 3, \alpha), \vec{v} = (\alpha, 1, 0) \) y \( \vec{w} = (2\alpha, 1, \alpha) \) (con \( \alpha \in \mathbb{R} \))
a) Determine los valores de \( \alpha \) para que \( \vec{u}, \vec{v} \) y \( \vec{w} \) sean linealmente independientes. (1 punto)
b) Para el valor \( \alpha = 1 \) exprese \( \vec{w} \) como combinación lineal de \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \). (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Dados el plano \( \pi_1 \) determinado por los puntos \( (0, 1, 1), (2, 0, 2) \) y \( (1, 2, 6) \) y el plano \( \pi_2 \) dado por la ecuación \( x - y + z = 3 \). Calcule una recta paralela a los dos planos y que no esté contenida en ninguno de ellos. (2 puntos)

Ejercicio 3 (2 puntos)

Sean el plano \( \pi \) de ecuación \( 2x + y - z - 2 = 0 \) y la recta \( r \) dada por \( \frac{x}{3} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z - 1}{3} \)
a) Estudie la posición relativa de la recta respecto del plano. (1 punto)
b) Calcule la distancia de la recta al plano. (1 punto)

Ejercicio 4 (2 puntos)

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son \( A(1, 3, -2), B(4, 3, 1) \) y \( C(1, 0, 1) \) como podemos observar en la siguiente representación:
a) Calcule el cuarto vértice \( D \). (1 punto)
b) Calcule el área del paralelogramo. (1 punto)