EBAU Canarias Julio 2023

Parte (a): Comprobar que \( r \) y \( s \) están en el mismo plano \( \pi \) y hallar su ecuación.

Pasos:

1. Calcularemos el vector director de \( r \). Los planos que la definen tienen vectores normales:

   \[ \mathbf{n}_1 = (8, 2, -3), \quad \mathbf{n}_2 = (-7, -1, 3) \]

   Hacemos el producto vectorial:

   \[ \mathbf{v}_r = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8 & 2 & -3 \\ -7 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (3, -3, 6) \]

   Simplificamos dividiendo entre 3: \( \mathbf{v}_r = (1, -1, 2) \).

2. El vector director de \( s \) se obtiene de su ecuación continua \( x = y + 1 = \frac{z - 2}{2} \):

   \[ \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2} \implies \mathbf{v}_s = (1, 1, 2) \]

3. Hallaremos un punto de \( r \). Sustituimos \( z = 0 \) en las ecuaciones de \( r \):

   \[ \begin{cases} 8x + 2y + 12 = 0 \\ -7x - y - 9 = 0 \end{cases} \]

   De la primera: \( 4x + y = -6 \). De la segunda: \( -7x - y = 9 \). Sumamos:

   \[ 4x + y - 7x - y = -6 + 9 \implies -3x = 3 \implies x = -1 \]

   Sustituimos en \( 4x + y = -6 \): \( 4(-1) + y = -6 \implies y = -2 \). Punto: \( (-1, -2, 0) \).

4. Tomamos un punto de \( s \), por ejemplo, para \( x = 0 \):

   \[ 0 = y + 1 \implies y = -1, \quad 0 = \frac{z - 2}{2} \implies z = 2 \]

   Punto: \( (0, -1, 2) \).

5. Calcularemos el vector \( \mathbf{u} \) que une los puntos \( (-1, -2, 0) \) de \( r \) y \( (0, -1, 2) \) de \( s \):

   \[ \mathbf{u} = (0 - (-1), -1 - (-2), 2 - 0) = (1, 1, 2) \]

6. Para comprobar que \( r \) y \( s \) son coplanarias, calculamos el producto mixto como el determinante de la matriz con \( \mathbf{v}_r \), \( \mathbf{v}_s \) y \( \mathbf{u} \) como filas:

   \[ [\mathbf{v}_r, \mathbf{v}_s, \mathbf{u}] = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

   Como la fila 2 es igual a la fila 3 concluimos que el producto mixto es vale cero: [\( \mathbf{v}_r, \mathbf{v}_s, \mathbf{u}] = 0 \)

   Como el producto mixto es cero, concluimos que \( \mathbf{v}_r \), \( \mathbf{v}_s \) y \( \mathbf{u} \) son coplanarios, por lo que \( r \) y \( s \) están en el mismo plano.

7. Hallaremos la ecuación del plano \( \pi \) con \( \mathbf{v}_r \) y \( \mathbf{v}_s \). Su normal es:

   \[ \mathbf{n}_\pi = \mathbf{v}_r \times \mathbf{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-4, 0, 2) \equiv (-2, 0, 1) \]

   Usamos el punto \( (-1, -2, 0) \):

   \[ -2(x + 1) + 0(y + 2) + 1(z - 0) = 0 \implies -2x - 2 + z = 0 \implies -2x + z - 2 = 0 \]

   Verificamos con \( (0, -1, 2) \): \( -2 \cdot 0 + 2 - 2 = 0 \quad \text{(se cumple)} \).

   \[ \boxed{-2x + z - 2 = 0} \]

Parte (b): Recta que pasa por \( P(0, -1, 2) \) y corta perpendicularmente a \( r \).

Pasos:

1. Hallaremos un plano que pase por \( P(0, -1, 2) \) y sea perpendicular a \( r \). El vector director de \( r \) es \( \mathbf{v}_r = (1, -1, 2) \), que será el normal del plano. Usamos \( P \):

   \[ 1(x - 0) - 1(y - (-1)) + 2(z - 2) = 0 \]

   Simplificamos:

   \[ x - (y + 1) + 2z - 4 = 0 \implies x - y + 2z - 5 = 0 \]

2. Hallaremos el punto de corte del plano \( x - y + 2z - 5 = 0 \) con la recta \( r \). Parametrizamos \( r \) con \( \mathbf{v}_r = (1, -1, 2) \) y el punto \( (-1, -2, 0) \):

   \[ \begin{cases} x = -1 + t \\ y = -2 - t \\ z = 2t \end{cases} \]

   Sustituimos en el plano:

   \[ (-1 + t) - (-2 - t) + 2(2t) - 5 = 0 \] \[ -1 + t + 2 + t + 4t - 5 = 0 \implies 6t - 4 = 0 \implies 6t = 4 \implies t = \frac{2}{3} \]

   Para \( t = \frac{2}{3} \):

   \[ x = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}, \quad y = -2 - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}, \quad z = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

   Punto de corte: \( \left(-\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right) \).

3. Usaremos \( P(0, -1, 2) \) y el punto de corte \( \left(-\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right) \) para hallar la ecuación de la recta. El vector director es:

   \[ \mathbf{v} = \left(-\frac{1}{3} - 0, -\frac{8}{3} - (-1), \frac{4}{3} - 2\right) = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{8}{3} + \frac{3}{3}, \frac{4}{3} - \frac{6}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}\right) \]

   Simplificamos: \( \mathbf{v} = (1, 5, 2) \). Ecuación paramétrica desde \( P \):

   \[ \begin{cases} x = t \\ y = -1 + 5t \\ z = 2 + 2t \end{cases} \]

   En forma continua:

   \[ \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{2} \]

   Verificamos perpendicularidad: \( \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot (1) + (-1) \cdot (5) + 2 \cdot (2) = 1 - 5 + 4 = 0 \quad \text{(correcto)} \).

   \[ \boxed{\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{2}} \]