EBAU Canarias Junio 2024

Parte (a): Punto $A$ intersección de $s$ con $\pi$.

Pasos:

1. Calcularemos el vector director de la recta $r$. Los planos que la definen tienen vectores normales:

   $${\mathbf{n}}_1=(1,1,0),{\mathbf{n}}_2=(1,0,1)$$

   Hacemos el producto vectorial:

   $${\mathbf{v}}_r={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=(1,-1,-1)$$

2. La recta $s$ es paralela a $r$, por lo que tiene el mismo vector director ${\mathbf{v}}_s=(1,-1,-1)$, y pasa por $P(-7,3,4)$. Su ecuación paramétrica es:

   $$\{\begin{array}{l}x=-7+t\\ y=3-t\\ z=4-t\end{array}$$

3. Para hallar el punto $A$, sustituimos $s$ en la ecuación del plano $\pi$:

   $$(-7+t)+2(3-t)-5(4-t)+5=0$$

   Simplificamos:

   $$-7+t+6-2t-20+5t+5=0⟹4t-16=0⟹t=4$$

4. Sustituimos $t=4$ en las ecuaciones de $s$:

   $$x=-7+4=-3,y=3-4=-1,z=4-4=0$$

   El punto $A$ es:

   $$\boxed{{\displaystyle A=(-3,-1,0)}}$$

Parte (b): Ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$.

Pasos:

1. El vector director de $r$ ya lo tenemos: ${\mathbf{v}}_r=(1,-1,-1)$.

2. El vector normal del plano $\pi$ es ${\mathbf{n}}_{\pi }=(1,2,-5)$.

3. El ángulo $\theta$ entre $r$ y $\pi$ es el complementario del ángulo $\varphi$ entre ${\mathbf{v}}_r$ y ${\mathbf{n}}_{\pi }$. Calculamos $\cos \varphi$:

   $$\cos \varphi =\frac{|{\mathbf{v}}_r\cdot {\mathbf{n}}_{\pi }|}{|{\mathbf{v}}_r||{\mathbf{n}}_{\pi }|}=\frac{|1\cdot 1+(-1)\cdot 2+(-1)\cdot (-5)|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+2^2+(-5{)}^2}}$$ $$\cos \varphi =\frac{|1-2+5|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{30}}=\frac{4}{\sqrt{90}}=\frac{4}{3\sqrt{10}}$$

4. El ángulo $\theta$ es:

   $$\sin \theta =\cos \varphi =\frac{4}{3\sqrt{10}},\theta =\arcsin \left(\frac{4}{3\sqrt{10}}\right)\approx {24.94}^{\circ }$$ $$\boxed{{\displaystyle \theta ={24.94}^{\circ }}}$$