Sea $A=(a_{ij})$ la matriz de dimensión $3\times 3$ definida por $a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }i=2\\ (-1{)}^j(i-1)& \text{si }i\ne 2\end{array}$. Explique si $A$ y $A+I$ son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota: $a_{ij}$ es el elemento de $A$ que está en la fila $i$ y en la columna $j$, e $I$ es la matriz identidad.)

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema:

$$\{\begin{array}{l}x+2y=m\\ my+3z=1\\ x+(m+2)y+(m+1)z=m+1\end{array}$$

De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos lados sobre los ejes de coordenadas y un vértice sobre la recta $x+2y=4$, determine los vértices del que tiene mayor área.

Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x-1& \text{si }x\le 0\\ -x^2-x-1& \text{si }x>0\end{array}$, calcule el área de la región encerrada por la gráfica de $f$ y las rectas $y=4x-7$ e $y=1$.

a) Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(0,0,3)$.

b) Calcule el punto simétrico de $P(10,-5,5)$ con respecto al plano $\pi :6x+3y+2z-6=0$.

a) Halle el valor de $a$ si el plano $\pi :ax+y+z=0$ es paralelo a la recta $r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=2+\lambda \end{array}$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

b) Estudie la posición relativa de los planos ${\pi }_1:2x+y+mz+m=0$ y ${\pi }_2:(m-1)x+y+3z=0$ en función del parámetro $m$.

a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcule $P(A)$ sabiendo que $P(B)=2P(A)$, $P(A\cap B)=0.1$ y $P(A\cup B)=0.8$.

b) Diga si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes, si se sabe que:

$$P(A)=0.6,P(B)=0.3,\text{y}P(\overline{A}\cup \overline{B})=0.82$$

El portador de una cierta enfermedad tiene un $10\mathrm{\%}$ de probabilidades de contagiarla a quien no estuvo expuesto a ella. Si entra en contacto con 8 personas que no estuvieron expuestas, calcule:

a) La probabilidad de que contagie a un máximo de 2 personas.

b) La probabilidad de que contagie a 2 personas por lo menos.

Sean $A$ y $B$ dos matrices tales que $A+2B=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 0& 3\end{array}\right)$ y $A+B=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$, se pide:

a) Calcule $A^2$.

b) Calcule la matriz $X$ que satisface la igualdad $A^{2}X-(A+B{)}^T=3I-2X$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2 y $(A+B{)}^T$ la traspuesta de $(A+B)$.

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema:

$$\{\begin{array}{l}mx+(m+2)y+z=3\\ 2mx+3my+2z=5\\ (m-4)y+mz=m\end{array}$$

a) Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.

b) Calcule $\int x^3{e}^{x^2}dx$.

Calcule los siguientes límites:

a) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x-\ln (1+x)}{x\sin x}$

b) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{\sin x}-e^x}{x^2}$

a) Considérese el plano $\pi :4x+2y+bz=2$ y la recta $r:\frac{x-2}{3}=\frac{y-c}{2}=\frac{z-3}{4}$, donde $b$ y $c$ son parámetros reales. Calcule los valores que tienen que tomar $b$ y $c$ para que la recta $r$ esté contenida en $\pi$.

b) Calcule la distancia del punto $P(1,3,1)$ al plano ${\pi }^{\prime }:4x+2y-4z=2$.

a) Considérense los puntos $Q(-1,3,-5)$, $R(3,1,0)$ y $S(0,1,2)$. Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a $Q$, $R$ y $S$.

b) Obtenga las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(3,-1,-1)$ y sea perpendicular al plano $\pi :4x+23y+6z-35=0$.

Sabiendo que $P(A)=\frac{1}{3}$ y $P(B)=\frac{1}{2}$, se pide:

a) Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos independientes, calcule $P(A\cup B)$ y $P(\overline{A}\mid (\overline{A}\cup \overline{B}))$.

b) Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos incompatibles, calcule $P(A\cup B)$ y $P(\overline{A}\mid (\overline{A}\cup \overline{B}))$.

(Nota: $\overline{A}$ y $\overline{B}$ son los sucesos contrarios o complementarios de $A$ y $B$, respectivamente).

Una máquina que distribuye agua en botellas echa una cantidad de agua que sigue una distribución normal con media igual a 500 mililitros y desviación típica igual a 4 mililitros, se pide:

a) Si elegimos al azar una de las botellas, ¿cuál es la probabilidad de que lleve entre 499 y 502 mililitros?

b) ¿Cuál es la cantidad de agua, en mililitros, excedida por el $97.5\mathrm{\%}$ de estas botellas?